\chapter{Sistema de medici\'on de anonimato}
\chapterauthors{Rodolfo Sumoza
\chapteraffil{Fundación Centro Nacional de Desarrollo e Investigación en Tecnologías Libres}
}

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\begin{bibunit}[unsrt]

%\section{Sistema de medición alternativo}


\textbf{Resumen}

Este trabajo propone el uso de un sistema de medición para anonimato basado en las características de sus propiedades principales: el índice de uniformidad de la distribución de probabilidad y el tamaño del conjunto anónimo. En las propuestas previas, la medida más ampliamente utilizada es la entropía, un índice utilizado y propuesto en la Teoría de la Información, el cual tiene algunos inconvenientes con respecto a la medición del Anonimato según la propiedades mencionadas, en primer lugar dichas propiedades no se representan directa y explícitamente con este índice, y al ser un índice logarítmico, no representa de forma adecuada comportamientos lineales en el Anonimato. Para medir el índice de uniformidad se propone utilizar el criterio del error cuadrático mínimo y como segunda propuesta se plantea utilizar el criterio de divergencia de Jensen-Shannon. Para medir el tamaño del conjunto anónimo se propone utilizar una función de N (número de entes del conjunto anónimo).

%\subsection{Introducción}
\section{Introducción}
Los sistemas de medición utilizados para cuantificar los niveles de Anonimato de los sistemas, mecanismos y herramientas aun se consideran un problema abierto. Se han propuesto algunas alternativas para este propósito, y la que más ampliamente se ha utilizado es la que se basa en una medida utilizada en la Teoría de la Información: la entropía. Sin embargo ésta no representa explícitamente las características fundamentales del Anonimato: el tamaño del conjunto anónimo y el índice de uniformidad de la distribución de probabilidad vinculada al conjunto anónimo. En este trabajo, se propone utilizar como alternativa dos índices para la medición del Anonimato, y que explícitamente representen sus principales características. Por un lado el tamaño del conjunto anónimo puede ser representado a través de una función de N (el número de entes que componen al conjunto) y el índice de uniformidad puede ser representado utilizando uno de los siguientes indicadores: el Error Cuadrático Medio (RMSE por sus siglas en inglés) o el criterio de divergencia de Jensen-Shannon (CDJs por sus siglas en inglés).


En Pfiztmann et al. \cite{rlsm:terminology} establecieron una terminología ampliamente utilizada para estandarizar los términos utilizados en el contexto del Anonimato, en la cual ésta establece que un sujeto es anónimo cuando no puede ser diferenciado de los otros sujetos pertenecientes al mismo conjunto, denominado el conjunto anónimo. Describiendo el Anonimato en estos términos, se establece que sus niveles se incrementan si el tamaño del conjunto anónimo crece y cuando la distribución de probabilidad que establece un atacante sobre los miembros de ese conjunto anónimo tiende a ser uniforme. La proximidad de una distribución de probabilidad cualquiera a una distribución uniforme es a lo que se le denomina el índice de uniformidad de la distribución de probabilidad.

En la mayoría de la documentación hasta ahora difundida se utiliza como medida de referencia una obtenida de la Teoría de la Información: la entropía, y puede verse su representación tal como la definió Shannon en \cite{rlsm:shannon}. Esta propuesta fue discutida en los trabajos de Díaz et al. \cite{rlsm:diaz01} y Serjantov et al. \cite{rlsm:serj01}, y desde entonces ha sido utilizada como base de medición en varios otros trabajos como el de Deng et al. \cite{rlsm:yuxin}, Edman et al. \cite{rlsm:combinatorial} y Gierlichs et al. \cite{rlsm:revisiting}. Sin embargo, esta medida no representa explícitamente las caracaterísitcas que describen al Anonimato y que fueron explicadas previamente, particularmente el índice de uniformidad. 

%\subsection{Trabajos Relacionados}
\section{Trabajos Relacionado}
Se han hecho varias propuestas para cuantificar el grado o nivel de anonimato provisto por los sistemas anónimos. En \cite{rlsm:reiter} definen el grado de Anonimato como $1 - p$, donde $p$ es la probabilidad asignada por el atacante a un sujeto particular. En \cite{rlsm:berthold} definen el grado de anonimato como $A=\log_2(N)$, donde $N$ es el número de sujetos (usuarios) del sistema. Este grado solo depende del número de usuarios del sistema, y no toma en cuenta la información que el atacante puede obtener a través de la observación del sistema o por otros medios. En \cite{rlsm:diaz01} y \cite{rlsm:serj01} proponen medir la información que obtiene el atacante, considerando el conjunto completo de usuarios la probabilidad que le asigna, y para ello como medida proponen la entropía utilizada en la Teoría de Información (usan la entropía definida por Shannon en \cite{rlsm:shannon}). Ninguna de las propuestas anteriores representa explícitamente el tamaño del conjunto anónimo y el índice de uniformidad. Además en \cite{rlsm:diaz01} proponen utilizar un grado de anonimato normalizado, pero esta medida puede alcanzar su máximo nivel de anonimato con un $N=2$ (tamaño del conjunto anónimo), contradiciendo una de las características fundamentales del Anonimato definida en \cite{rlsm:terminology}: Los niveles de Anonimato se incrementan si se incrementa el tamaño del conjunto anónimo y el índice de uniformidad de la distibución de probabilidad. En \cite{rlsm:yuxin}, \cite{rlsm:combinatorial}, \cite{rlsm:revisiting} utilizan la entropía de  Shannon con un enfoque diferente pero adoleciendo de los mismos problemas. Cuando utilizan la entropía, están utilizando una función logarítmica, lo que significa que no se tienen grados de medición lineales para comparar los sistemas. Por ejemplo, si se tienen 4 sistemas, y los atacantes no tienen ninguna información de sus usuarios, esto quiere decir, que le asignan una distribución de probabilidad uniforme a cada conjunto anónimo, esto es si el primer sistema tiene $N=100$ sujetos, el segundo tiene $N=200$ sujetos, el tercero tiene $N=400$ sujetos y el cuarto tiene $N=800$ sujetos, los grados de Anonimato utilizando la entropía son: $6.6438$, $7.6438$, $8.6438$, $9.6438$, respectivamente. Estos escenarios, con la misma distribución de probabilidad y con diferente $N$ (el doble del conjunto anterior) debería tener el doble del grado de Anonimato comparando cada uno con el siguiente, pero esto no sucede debido a que la entropía utiliza una función logarítmica y no lineal.


%\subsection{Propuesta}
\section{Propuesta}

Se propone utilizar dos índices para medir el Anonimato, cada uno para establecer los niveles de cada característica fundamental del Anonimato: Uno para medir el tamaño del conjunto anónimo: $N$ o $1/N$, donde $N$ es el número de sujetos o elementos, y uno para medir el índice de uniformidad de la función de distribución de probabilidad asignada por el atacante. Para medir el índice de uniformidad se proponen utilizar una de las siguientes dos métricas: La raíz del error cuadrático medio (RSME) o el criterio de divergencia de Jennsen-Shannon (DJS).

%\subsubsection{Raíz del Error Cuadrático Medio - RSME}
\subsection{Raíz del Error Cuadrático Medio - RSME}

Este término se utiliza para estimar el error de la varianza, este es el error residual de la suma de los cuadrados divididos por el grado de libertad. En análisis de regresión, es una cantidad observada dada un muestra en particular, y depende de dicha muestra. Además, este término es referido al error fuera de la muestra: el valor medio de las desviaciones cuadráticas de las predicciones de los valores de verdad, sobre un espacio fuera de la muestra, generado por un modelo estimado sobre un espacio muestral particular. Esta también es una cantidad observada, y varía según la muestra y según el espacio fuera de la muestra probado.

\begin{equation}
RSME=\frac{\sqrt{(\bar{X}-X)^{2}}}{n(n-1)}
\end{equation}

En este caso, se propone utilizar $p_{i}=\frac{1}{N}$ (probabilidades en una distribución uniforme) para representar $\bar{X}$, y $p_{i}$, la probabilidad asignada por el atacante, se representa con $X$. Esta medida permite establecer la "distancia" de la distribución de probabilidad del atacante a la distribución uniforme. 

\begin{equation}
RSME_a=\frac{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^N (\frac{1}{N}-p_{i})^{2}}}{N(N-1)}
\end{equation}

Si un sistema tiene un $RSME_a\approxeq1$, esto quiere decir que provee un muy bajo nivel de anonimato.
Si otro sistema tiene un $RSME_a\approxeq0$, quiere decir que provee un buen nivel de anonimato. Pero también se debe observar el tamaño del conjunto anónimo para tomar un visión real del sistema.

%\subsubsection{Divergencia de Jennesen-Shannon}
\subsection{Divergencia de Jennesen-Shannon}

La divergencia de Jensen-Shannon es un método popular para medir la similitud entre dos o más distribuciones de probabilidad. Se basa el la divergencia de Kullback-Leibler, con la notable y útil diferencia que siempre da como resultado un valor finito. La raíz cuadrada de la divergencia de Jensen-Shannon es el índice que se propone para representar el índice de uniformidad en Anonimato.

\begin{equation}
JSD(P_{1},P_{2})=H\left(\displaystyle\sum_{i=1}^2 \pi_i P_i\right)-\displaystyle\sum_{i=1}^2 \pi_i P_i
\end{equation}

\begin{equation}
JSD_a(P_{1},P_{2})=\sqrt{JSD(P_{1},P_{2})}
\end{equation}

donde $\pi_i$ son lo pesos para la distribuciones de probabilidad $P_1,P_2$, en este caso $\pi_i=1, \nabla i=\{1,2\}$, y $H(P)$ es la entropía de Shannon para la distribución $P$. Es este caso, $P_1$ es una distribución uniforme y $P_2$ es la distribución de probabilidad del atacante.

Con este resultado se obtienen dos índices para representar el grado o nivel de Anonimato:


%\subsubsection{Resultados}
\subsection{Resultados}
\begin{description}
  \item[Opción 1:] Grado de Anonimato ($AD$) utilizando RMSE para medir el índice de uniformidad de la distribución de probabilidad y $1/N$ para medir el tamaño del conjunto anónimo.\\
  \begin{center}$AD =  1 / N \pm MSE_a$\end{center}
  \item[Opción 2:] Grado de Anonimato ($AD$) utilizando JSD para medir el índice de uniformidad de la distribución de probabilidad y $1/N$ para medir el tamaño del conjunto anónimo.\\
  \begin{center}$AD =  1 / N \pm JSD_a$\end{center}
\end{description}

En ambos casos, el índice de uniformidad y el tamaño son expresados por separado pero no tiene el problema de linealidad de las otras métricas.

%\begin{thebibliography}{}

%\bibitem{terminology}
%Pfitzmann, A.,  Hansen, M.: Anonymity, Unobservability, and Pseudonymity: A Consolidated Proposal for Terminology. http://dud.inf.tu-dresden.de/Anon\_Terminology.shtml, (2000)

%\bibitem{diaz01}
%Diaz, C., Seys, S., Claessens J., Preneel, B.: Towards measuring anonymity. In: Proceedings of Privacy Enhancing Technologies Workshop (PET'02) - Springer LNCS 2482. pp. 54-68, (2002)

%\bibitem{serj01}
%Serjantov, A., Danezis, G.: Towards an Information Theoretic Metric for Anonymity. In: Proceedings of Privacy Enhancing Technologies Workshop (PET'02) - Springer LNCS 2482. (2002)

%\bibitem{shannon}
%Shannon, C.: The mathematical theory for communicactions. In: Bell Systems Technical Journal. pp. 30:50-64, (1948)

%\bibitem{yuxin}
%Deng, Y., Pang, J., Wu, P.: Measuring Anonymity with Relative Entropy. In: Proceedings of the 4th International Workshop on Formal Aspects in Security and Trust (FAST'06), Lecture Notes in Computer Science 4691. pp. 65-79, Springer, (2007)

%\bibitem{combinatorial}
%Edman, M., Sivrikaya, F., Yener, B.: A Combinatorial Approach to Measuring Anonymity. In: In Intelligence and Security Informatics. pp. 356-363, (2007)

%\bibitem{revisiting}
%Gierlichs, B., Troncoso, C., Diaz, C., Preneel, B., Verbauwhede, I.: Revisiting A Combinatorial Approach Toward Measuring Anonymity. In: Workshop on Privacy in the Electronic Society (WPES 2008), V. Atluri and M. Winslett (Eds.), pp. 111-116,  ACM Press, (2008)

%\bibitem{berthold}
%Berthold, O., Pfitzmann, A., Standtke, R.: The Disavantages of Free Mix Routes and How to overcome them. In: Hannes Federath (Ed.), Proceedings of Privacy Enhancing Technologies Workshop (PET'01), Lecture Notes in Computer Science. pp. 30-45, Springer-Verlag, (2001)

%\bibitem{reiter}
%Reiter, M., Rubin, A.: Crowds: Anonymity for Web Transactions. In: ACM Transactions on Information and System Security. vol. 1, no. 1, (1998)

%\bibitem{vernier}
%Vernier, D., and Gastineau, J.: What are Mean Squared Error and Root Mean Squared Error?. Article \#104. http://www.vernier.com/ (2011)

%\bibitem{jianhua}
%Jianhua, L.: Divergences Measures Based in Shannon Entropy. IEEE Transactions on Information Theory. vol. 37, no. 1 (1991)


%\end{thebibliography}




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