1 | \chapter{Sistema de medici\'on de anonimato} |
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2 | \chapterauthors{Rodolfo Sumoza |
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3 | \chapteraffil{Fundación Centro Nacional de Desarrollo e Investigación en Tecnologías Libres} |
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4 | } |
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5 | |
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6 | % Se crea un ambiente bibunit para el cual se creará la bibliografía |
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7 | \begin{bibunit}[unsrt] |
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8 | |
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9 | %\section{Sistema de medición alternativo} |
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10 | |
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11 | |
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12 | \textbf{Resumen} |
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13 | |
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14 | Este trabajo propone el uso de un sistema de medición para anonimato |
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15 | basado en las características de sus propiedades principales: el índice |
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16 | de uniformidad de la distribución de probabilidad y el tamaño del conjunto |
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17 | anónimo. En las propuestas previas, la medida más ampliamente utilizada |
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18 | es la entropía, un índice utilizado y propuesto en la Teoría de la |
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19 | Información, el cual tiene algunos inconvenientes con respecto a la |
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20 | medición del Anonimato según la propiedades mencionadas, en primer |
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21 | lugar dichas propiedades no se representan directa y explícitamente |
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22 | con este índice, y al ser un índice logarítmico, no representa de |
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23 | forma adecuada comportamientos lineales en el Anonimato. Para medir |
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24 | el índice de uniformidad se propone utilizar el criterio del |
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25 | error cuadrático mínimo y como segunda propuesta se plantea |
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26 | utilizar el criterio de divergencia de Jensen-Shannon. Para |
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27 | medir el tamaño del conjunto anónimo se propone utilizar una |
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28 | función de N (número de entes del conjunto anónimo). |
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29 | |
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30 | %\subsection{Introducción} |
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31 | \section{Introducción} |
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32 | Los sistemas de medición utilizados para cuantificar los niveles |
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33 | de Anonimato de los sistemas, mecanismos y herramientas aun se |
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34 | consideran un problema abierto. Se han propuesto algunas alternativas |
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35 | para este propósito, y la que más ampliamente se ha utilizado es la |
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36 | que se basa en una medida utilizada en la Teoría de la Información: |
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37 | la entropía. Sin embargo ésta no representa explícitamente las características |
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38 | fundamentales del Anonimato: el tamaño del conjunto anónimo y el |
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39 | índice de uniformidad de la distribución de probabilidad vinculada |
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40 | al conjunto anónimo. En este trabajo, se propone utilizar como alternativa |
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41 | dos índices para la medición del Anonimato, que explícitamente representen |
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42 | sus principales características. Por un lado el tamaño del conjunto anónimo |
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43 | puede ser representado a través de una función de N (el número de entes |
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44 | que componen al conjunto) y el índice de uniformidad puede ser representado |
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45 | utilizando uno de los siguientes indicadores: el Error Cuadrático |
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46 | Medio (RMSE por sus siglas en inglés) o el criterio de divergencia de |
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47 | Jensen-Shannon (CDJs por sus siglas en inglés). |
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48 | |
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49 | |
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50 | En Pfiztmann et al. \cite{rlsm:terminology} establecieron una |
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51 | terminología ampliamente utilizada para estandarizar los términos |
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52 | utilizados en el contexto del Anonimato, en la cual ésta establece |
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53 | que un sujeto es anónimo cuando no puede ser diferenciado de los otros |
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54 | sujetos pertenecientes al mismo conjunto, denominado el conjunto anónimo. |
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55 | Describiendo el Anonimato en estos términos, se establece que sus niveles |
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56 | se incrementan si el tamaño del conjunto anónimo crece y cuando la |
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57 | distribución de probabilidad que establece un atacante sobre los |
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58 | miembros de ese conjunto anónimo tiende a ser uniforme. La |
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59 | proximidad de una distribución de probabilidad cualquiera a una |
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60 | distribución uniforme es a lo que se le denomina el índice de |
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61 | uniformidad de la distribución de probabilidad. |
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62 | |
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63 | En la mayoría de la documentación hasta ahora difundida se utiliza |
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64 | como medida de referencia una obtenida de la Teoría de la Información: |
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65 | la entropía, y puede verse su representación tal como la definió Shannon |
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66 | en \cite{rlsm:shannon}. Esta propuesta fue discutida en los trabajos |
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67 | de Díaz et al. \cite{rlsm:diaz01} y Serjantov et al. \cite{rlsm:serj01}, |
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68 | y desde entonces ha sido utilizada como base de medición en varios otros |
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69 | trabajos como el de Deng et al. \cite{rlsm:yuxin}, Edman et al. |
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70 | \cite{rlsm:combinatorial} y Gierlichs et al. \cite{rlsm:revisiting}. |
---|
71 | Sin embargo, esta medida no representa explícitamente las características |
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72 | que describen al Anonimato y que fueron explicadas previamente, |
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73 | particularmente el índice de uniformidad. |
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74 | |
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75 | %\subsection{Trabajos Relacionados} |
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76 | \section{Trabajos Relacionado} |
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77 | Se han hecho varias propuestas para cuantificar el grado o nivel de |
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78 | anonimato provisto por los sistemas anónimos. En \cite{rlsm:reiter} |
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79 | definen el grado de Anonimato como $1 - p$, donde $p$ es la probabilidad |
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80 | asignada por el atacante a un sujeto particular. En \cite{rlsm:berthold} |
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81 | definen el grado de anonimato como $A=\log_2(N)$, donde $N$ es el |
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82 | número de sujetos (usuarios) del sistema. Este grado solo depende del |
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83 | número de usuarios del sistema, y no toma en cuenta la información |
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84 | que el atacante puede obtener a través de la observación del sistema |
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85 | o por otros medios. En \cite{rlsm:diaz01} y \cite{rlsm:serj01} proponen |
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86 | medir la información que obtiene el atacante, considerando el conjunto |
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87 | completo de usuarios la probabilidad que le asigna, y para ello |
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88 | como medida proponen la entropía utilizada en la Teoría de Información |
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89 | (usan la entropía definida por Shannon en \cite{rlsm:shannon}). |
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90 | Ninguna de las propuestas anteriores representa explícitamente el |
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91 | tamaño del conjunto anónimo y el índice de uniformidad. Además en |
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92 | \cite{rlsm:diaz01} proponen utilizar un grado de anonimato normalizado, |
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93 | pero esta medida puede alcanzar su máximo nivel de anonimato |
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94 | con un $N=2$ (tamaño del conjunto anónimo), contradiciendo una de |
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95 | las características fundamentales del Anonimato definida en |
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96 | \cite{rlsm:terminology}: Los niveles de Anonimato se incrementan |
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97 | si se incrementa el tamaño del conjunto anónimo y el índice de |
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98 | uniformidad de la distibución de probabilidad. En \cite{rlsm:yuxin}, |
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99 | \cite{rlsm:combinatorial}, \cite{rlsm:revisiting} utilizan la entropía |
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100 | de Shannon con un enfoque diferente pero adoleciendo de los mismos |
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101 | problemas. Cuando utilizan la entropía, están utilizando una |
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102 | función logarítmica, lo que significa que no se tienen grados de |
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103 | medición lineales para comparar los sistemas. Por ejemplo, si se tienen |
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104 | 4 sistemas, y los atacantes no tienen ninguna información de sus usuarios, |
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105 | esto quiere decir, que le asignan una distribución de probabilidad |
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106 | uniforme a cada conjunto anónimo, esto es si el primer sistema |
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107 | tiene $N=100$ sujetos, el segundo tiene $N=200$ sujetos, el tercero |
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108 | tiene $N=400$ sujetos y el cuarto tiene $N=800$ sujetos, los grados |
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109 | de Anonimato utilizando la entropía son: $6.6438$, $7.6438$, $8.6438$, |
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110 | $9.6438$, respectivamente. Estos escenarios, con la misma distribución |
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111 | de probabilidad y con diferente $N$ (el doble del conjunto anterior) |
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112 | debería tener el doble del grado de Anonimato comparando cada uno con |
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113 | el siguiente, pero esto no sucede debido a que la entropía utiliza |
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114 | una función logarítmica y no lineal. |
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115 | \begin{comment} |
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116 | En este punto cabe preguntar porqué el concepto de grado de anonimato |
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117 | se considera que debe estar asociado con una función lineal del tamaño |
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118 | del conjunto. Esa es una restricción fuerte que no se ve justificada. |
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119 | Lo que se muestra en torno al asunto sólo llega a requerir que sea una |
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120 | función creciente. |
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121 | \end{comment} |
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122 | |
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123 | %\subsection{Propuesta} |
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124 | \section{Propuesta} |
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125 | |
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126 | Se propone utilizar dos índices para medir el Anonimato, cada uno |
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127 | para establecer los niveles de cada característica fundamental del |
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128 | Anonimato: Uno para medir el tamaño del conjunto anónimo: $N$ o $1/N$, |
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129 | donde $N$ es el número de sujetos o elementos, y uno para medir el |
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130 | índice de uniformidad de la función de distribución de probabilidad |
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131 | asignada por el atacante. Para medir el índice de uniformidad se |
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132 | proponen utilizar una de las siguientes dos métricas: La raíz del |
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133 | error cuadrático medio (RSME) o el criterio de divergencia de |
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134 | Jennsen-Shannon (DJS). |
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135 | |
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136 | %\subsubsection{Raíz del Error Cuadrático Medio - RSME} |
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137 | \subsection{Raíz del Error Cuadrático Medio - RSME} |
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138 | |
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139 | Este término se utiliza para estimar el error de la varianza, este |
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140 | es el error residual de la suma de los cuadrados divididos por el |
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141 | grado de libertad. En análisis de regresión, es una cantidad observada |
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142 | dada un muestra en particular, y depende de dicha muestra. Además, |
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143 | este término es referido al error fuera de la muestra: el valor medio |
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144 | de las desviaciones cuadráticas de las predicciones de los valores de |
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145 | verdad, sobre un espacio fuera de la muestra, generado por un modelo |
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146 | estimado sobre un espacio muestral particular. Ésta también es una |
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147 | cantidad observada, y varía según la muestra y según el espacio fuera |
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148 | de la muestra probado. |
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149 | |
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150 | \begin{equation} |
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151 | RSME=\frac{\sqrt{(\bar{X}-X)^{2}}}{n(n-1)} |
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152 | \end{equation} |
---|
153 | |
---|
154 | En este caso, se propone utilizar $p_{i}=\frac{1}{N}$ (probabilidades en |
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155 | una distribución uniforme) para representar $\bar{X}$, y $p_{i}$, |
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156 | la probabilidad asignada por el atacante, se representa con $X$. Esta |
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157 | medida permite establecer la "distancia" de la distribución de |
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158 | probabilidad del atacante a la distribución uniforme. |
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159 | |
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160 | \begin{equation} |
---|
161 | RSME_a=\frac{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^N (\frac{1}{N}-p_{i})^{2}}}{N(N-1)} |
---|
162 | \end{equation} |
---|
163 | |
---|
164 | Si un sistema tiene un $RSME_a\approxeq1$, esto quiere decir que |
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165 | provee un muy bajo nivel de anonimato. |
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166 | Si otro sistema tiene un $RSME_a\approxeq0$, quiere decir que provee |
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167 | un buen nivel de anonimato. Pero también se debe observar el tamaño |
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168 | del conjunto anónimo para tomar un visión real del sistema. |
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169 | |
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170 | %\subsubsection{Divergencia de Jennesen-Shannon} |
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171 | \subsection{Divergencia de Jennesen-Shannon} |
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172 | |
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173 | La divergencia de Jensen-Shannon es un método popular para medir |
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174 | la similitud entre dos o más distribuciones de probabilidad. Se basa |
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175 | en la divergencia de Kullback-Leibler, con la notable y útil diferencia |
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176 | que siempre da como resultado un valor finito. La raíz cuadrada |
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177 | de la divergencia de Jensen-Shannon es el índice que se propone para |
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178 | representar el índice de uniformidad en Anonimato. |
---|
179 | |
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180 | \begin{equation} |
---|
181 | JSD(P_{1},P_{2})=H\left(\displaystyle\sum_{i=1}^2 \pi_i P_i\right)-\displaystyle\sum_{i=1}^2 \pi_i P_i |
---|
182 | \end{equation} |
---|
183 | |
---|
184 | \begin{equation} |
---|
185 | JSD_a(P_{1},P_{2})=\sqrt{JSD(P_{1},P_{2})} |
---|
186 | \end{equation} |
---|
187 | |
---|
188 | donde $\pi_i$ son lo pesos para la distribuciones de |
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189 | probabilidad $P_1,P_2$, en este caso $\pi_i=1, \nabla i=\{1,2\}$, |
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190 | y $H(P)$ es la entropía de Shannon para la distribución $P$. Es este |
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191 | caso, $P_1$ es una distribución uniforme y $P_2$ es la distribución |
---|
192 | de probabilidad del atacante. |
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193 | |
---|
194 | Con este resultado se obtienen dos índices para representar el grado o |
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195 | nivel de Anonimato: |
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196 | |
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197 | |
---|
198 | %\subsubsection{Resultados} |
---|
199 | \subsection{Resultados} |
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200 | \begin{description} |
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201 | \item[Opción 1:] Grado de Anonimato ($AD$) utilizando RMSE para medir |
---|
202 | el índice de uniformidad de la distribución de probabilidad |
---|
203 | y $1/N$ para medir el tamaño del conjunto anónimo.\\ |
---|
204 | \begin{center}$AD = 1 / N \pm MSE_a$\end{center} |
---|
205 | \item[Opción 2:] Grado de Anonimato ($AD$) utilizando JSD para |
---|
206 | medir el índice de uniformidad de la distribución de probabilidad |
---|
207 | y $1/N$ para medir el tamaño del conjunto anónimo.\\ |
---|
208 | \begin{center}$AD = 1 / N \pm JSD_a$\end{center} |
---|
209 | \end{description} |
---|
210 | |
---|
211 | En ambos casos, el índice de uniformidad y el tamaño son |
---|
212 | expresados por separado pero no tiene el problema de linealidad |
---|
213 | de las otras métricas. |
---|
214 | |
---|
215 | %\begin{thebibliography}{} |
---|
216 | |
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252 | |
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253 | |
---|
254 | |
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255 | |
---|
256 | % el siguiente comando establece la ubicación de las referencias |
---|
257 | \putbib[bibliografia] |
---|
258 | |
---|
259 | % el siguiente comando cierra el ambiente bibunit para la cual se generan las |
---|
260 | % referencias. |
---|
261 | \end{bibunit} |
---|
262 | |
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263 | |
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264 | |
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